Результаты исследований, проведенных нами ранее (Т. В. Розанова, 1966, 1978, 1981), в соотнесении с компонентами математических способностей, выделенными В. А. Крутецким, а также компонентами интеллектуальных способностей, описываемыми многими психологами, позволили предположить, что для развития математических способностей глухих детей наиболее значимо, насколько у них сформированы следующие умения и операции:
1) мыслительные операции анализа и синтеза, сравнения, абстракции и обобщения на уровне наглядно-образного мышления; умение вычленять отношения между наглядными признаками и мысленно оперировать этими отношениями;
2) активная речь детей, которая становится средством мыслительной деятельности;
3) умение мысленно оперировать математическими понятиями, т. е. развитие конкретно-понятийного (словесно-логического) мышления; понимание системных отношений между этими понятиями, их относительности; умение мыслить обратимо по отношению к любой математической ситуации;
4) умение совершать в уме операции сложения, вычитания, умножения и деления (сложение и вычитание двузначных чисел в пределах 100, табличное умножение и деление); умение раскладывать любое однозначное или двузначное число на его составляющие и производить обратное действие — воссоздавать число из его составляющих;
5) умение осуществлять самоконтроль и самопроверку своих мыслительных действий при решении арифметических задач и примеров; сопоставлять условия задачи, вопрос, ход решения, полученный результат в прямом и обратном направлении, сравнивать сходные примеры между собой, проверять результат вычислений обратным действием.
Возможности детей целенаправленно выполнить все этапы решения задачи, а затем осуществить самопроверку характеризуют не только их мыслительные возможности, но и волевые качества.
В качестве эмоциональных показателей могли служить реакции детей, в которых проявлялось отношение детей к предлагаемым им заданиям, а также к результатам своей деятельности, неудачам и успехам, похвале или неодобрению взрослого. Особо изучался вопрос об отношении детей к математике как к школьному предмету. С этой целью проводились беседы с учителями и воспитателями соответствующих классов. Проявлением работоспособности служило умение выполнять однотипные задания, посильные для детей, на протяжении достаточно длительного времени.
Исходя из приведенных выше факторов, значимых, как мы предполагали, для формирования математических способностей у глухих детей, была разработана методика исследования, включающая целый ряд заданий.
1. Задания на определение уровня развития наглядного мышления
Эти задания состояли из наглядных задач, матриц Равена серий А, Ав и В, в которых использовались определенные виды помощи по системе, ранее нами разработанной и описанной (Т. В. Розанова, 1978).
Кроме этого, были составлены дополнительно пять наглядных задач, аналогичных задачам Равена серии В (В8 — В12) на отношения между признаками. В каждой задаче имелись три исходных элемента (два в верхнем ряду и один в нижнем), к которым нужно было добавить четвертый (всегда нижний правый). При этом вариантов возможных решений (как у Равена) не давалось, а четвертый, недостающий элемент требовалось нарисовать самому испытуемому (это исключало возможность случайного выбора правильного ответа). Чтобы решить, каким должен быть недостающий элемент, нужно было понять соотношение признаков у имеющихся элементов (какие признаки и у каких элементов тождественны). Все элементы были типа геометрических фигур, поэтому их изображение не представляло каких-либо трудностей для испытуемых.
2. Задания на определение уровня развития речи
Учащимся давались 10 простых сюжетных картинок, изображающих знакомые жизненные ситуации и действия детей или взрослых. Испытуемые должны были сказать, что изображено на картинке, а затем записать это в одном-двух предложениях.
Учитывались показатели письменной речи детей:
общее количество написанных предложений, сложность их структуры, количество слов в предложениях, наличие ошибок и их виды. На основе учета этих показателей определялся уровень развития речи ученика по сравнению со средним уровнем развития речи глухих второклассников. Средний уровень был установлен на основе ранее выполненного исследования, проведенного с большой группой глухих учащихся I—III классов. Развитие речи, как и развитие наглядного мышления, оценивалось по пяти уровням: V уровень — высокий, IV уровень — выше среднего, III уровень — средний, II уровень — ниже среднего, I уровень — низкий.
3. Задания на определение уровня владения основными математическими знаниями и умениями
Все задания математического характера не выходили за пределы программы по математике для II класса школы глухих. Исключение составили только задачи и задания на разностное сравнение групп предметов.
Задания подразделялись на несколько видов: а) задания предметно-словесного характера; б) арифметические задачи (с наглядными опорами и без них); в) арифметические примеры.
а) Задания предметно-словесного характера.
Испытуемому последовательно давались инструкции, написанные на отдельных карточках. Предметы, с которыми испытуемый должен был действовать, находились на столе перед ним.
1. Положи 5 пуговиц и еще столько же пуговиц (пуговицы нужно было взять из коробки).
2. Положи пуговиц столько же, сколько квадратиков.
Шесть квадратиков располагали на столе в виде группы, не организованной в ряд.
3. Положи одинаковое количество пуговиц и квадратиков.
Задание давалось в том случае, если второе задание не выполнялось испытуемым.
4. Положи пуговиц на 3 больше, чем квадратиков.
Как и в двух предшествующих заданиях, на столе лежали 6 квадратиков.
5. Положи пуговиц столько же, сколько квадратиков, и еще 3 пуговицы.
Задание давалось в том случае, если четвертое задание не выполнялось испытуемым.
6. Чего меньше — пуговиц или квадратиков?
Этот вопрос задавался после правильно выполненного четвертого или пятого задания. Если же испытуемый выполнял задание неправильно, то экспериментатор сам клал перед испытуемым 6 квадратиков и 9 пуговиц (в группы, не организованные в ряды) и просил ответить на данный вопрос.
7. Чего больше пуговиц или квадратиков?
Испытуемый должен был ответить по поводу тех же 6 квадратиков и 9 пуговиц. Этот вопрос задавался с целью выяснения того, поняли ли испытуемые взаимообратные отношения между двумя группами— большей и меньшей.
8. На сколько меньше квадратиков, чем пуговиц?
Вопрос задавался по поводу тех же 6 квадратиков и 9 пуговиц. Этот вопрос не предусмотрен программой по математике ни для I, ни для II класса школы глухих. Вместе с тем большинство слышащих детей 6—7 лет до обучения в школе легко отвечают на этот вопрос. Предполагалось выяснить, не сложилось ли соответствующее умение у глухих, учащихся II класса вне прямого обучения (на основе овладения смыслом действия увеличения или уменьшения количества предметов на несколько единиц по сравнению с другим количеством, поскольку разностное сравнение является обратным по отношению к этому действию).
9. На сколько больше пуговиц, чем квадратиков?
Вопрос задавался по поводу тех же 6 квадратиков
и 9 пуговиц для проверки понимания взаимообратности отношений.
10. Положи пуговиц на 5 меньше, чем квадратиков.
Перед испытуемым лежали те же 6 квадратиков и много пуговиц в коробке.
11. На сколько больше квадратиков, чем пуговиц?
Вопрос задавался, если испытуемый правильно
выполнял задание 10, и перед ним лежали 6 квадратиков и 1 пуговица.
12. На сколько меньше пуговиц, чем квадратиков?
Вопрос давался в случае правильного выполнения задания 10 и позволял судить о понимании деть
ми взаимообратности отношений «больше (меньше) на».
13. Нарисуй дом. Нарисуй дерево выше дома. Нарисуй дерево ниже дома.
Испытуемому предлагалось сделать соответствующее изображение дома и двух деревьев на отдельном листе бумаги. Задание 13 взято из учебника математики для I класса школ глухих (Н. Ф. Слезина, 1973, с. 178).
Таким образом, с помощью заданий предметнословесного характера выяснялось, насколько дети свободно оперируют понятиями «столько же», «одинаково», «больше», «меньше», «больше на», «меньше на», «на сколько больше (меньше)», «выше—ниже», владеют ли они пониманием взаимообратности отношений между «больше — меньше», «больше (меньше) на», «больше (меньше) на — на сколько больше (меньше)», «выше — ниже».
б) Арифметические задачи и дополнительные вопросы к ним.
Задача 1. Было 6 треугольников. Пуговиц на 5 меньше, чем треугольников. Сколько было пуговиц?
Сначала предлагалось решить задачу обычным арифметическим способом с записью арифметического действия и ответа задачи. Затем испытуемый должен был изобразить содержание задачи путем действий с предметами (в коробке перед испытуемым лежало несколько треугольников, сделанных из дерева, а также пуговицы, в большем количестве, чем требовалось). После этого испытуемому давался дополнительный вопрос: на сколько больше треугольников, чем пуговиц?
Задача 2. Было 6 треугольников и 9 пуговиц. На сколько пуговиц больше, чем треугольников?
Сначала, как и в задаче 1, предлагалось решить задачу обычным арифметическим способом. Вне зависимости от результата испытуемого затем просили достать из коробки и положить на стол пуговицы и треугольники в соответствии с условием задачи.
Затем последовательно задавались три вопроса: 1. Чего больше — пуговиц или треугольников? 2. Чего меньше — пуговиц или треугольников? 3. На сколько меньше треугольников, чем пуговиц?
При решении задач прослеживалось, насколько испытуемые владеют понятиями увеличения (умень
шения) числа на столько-то единиц. Кроме этого, выяснялось, насколько свободно испытуемые переходят от словесно-арифметического решения задачи к ее предметному изображению и затем снова к словесно-математическому выражению имеющихся отношений.
Хотя учащиеся II класса еще не решали задач на разностное сравнение (задача 2), мы выясняли, как они отнесутся к подобной задаче, будут ли спрашивать что-либо у экспериментатора, откажутся ли от решения из-за непонимания и т. п.
Задача 3. Эта задача, названная нами «Красные-зеленые клетки», представляла видоизменение задачи Ж. Пиаже, Б. Инельдер и А. Шемиска на установление равенства незанятых площадей. Она ранее использовалась нами для исследования обратимости мыслительных действий у глухих детей (Т. В. Розанова, 1978).
В задаче даются два чертежа с изображением равных квадратов, разделенных на 36 клеток (6x6). В каждом из чертежей 31 клетка окрашена в зеленый цвет, 5 клеток — в красный. На одном из чертежей красные клетки равномерно распределены по всей плоскости квадрата, на другом собраны вместе. В задаче требуется определить, на каком листе больше зеленых клеток, не пересчитывая эти клетки.
При правильной оценке ситуации задачи испытуемый пересчитывает красные клетки (ведь их считать не запрещали!), узнает, что их имеется равное количество на обоих чертежах, и делает вывод относительно равенства зеленых клеток. Для этого он должен понимать взаимообратимость отношений между красными и зелеными клетками (чем больше одних, тем меньше других) и уметь мыслить обратимо (от красных клеток к зеленым и от зеленых к красным).
Если испытуемый не решал задачу самостоятельно, ему давали три дополнительных вопроса-указания: 1. На каком листе больше красных клеток? 2. Пересчитай красные клетки. 3. На каком листе больше зеленых клеток?
Задача 4. В коробке лежало 18 квадратов: 7 желтых и несколько красных. Сколько красных квадратов лежало в коробке?
Чтобы выяснить, насколько правильно учащиеся понимают условие задачи, владеют ли они значением слова «несколько», им предлагалось сделать рисунок, соответствующий условию задачи.
Задача 5. У Наташи было 6 тетрадей, а у Кати столько же и еще 3. Сколько тетрадей у Кати?
Последняя, пятая задача решалась без использования наглядности.
Успешность решения задач 4 и 5 свидетельствовала об умении детей решать типичные школьные задачи, многократно повторяемые, давала дополнительный материал об оперировании понятием «столько и еще», а также об оперировании понятием «несколько».
в) Арифметические примеры: 1) 42+27; 2) 28 — 9; 3) 66—28; 4) 57+4; 5) 43 + 29.
Примеры были составлены таким образом, что в четырех из них требовалось переходить через разряд.
При решении примеров отмечались особенности действий испытуемых: выяснялось, пользуются ли они при подсчете пальцами или вычисляют в уме, применяют ли дополнительные промежуточные подсчеты, вынесенные вовне (запись решения в столбик, фиксирование над строчкой промежуточных результатов и др.). По наличию внешних опор и их характеру можно было судить о степени владения математическими действиями и вычислительными навыками. Быстрая же автоматизация вычислительных навыков является одним из показателей математических способностей (В. А. Крутецкий, 1968).
Если испытуемый допускал ошибку при решении того или иного примера или не знал, как его решать, то после попыток самостоятельного решения всех пяти примеров ему оказывалась помощь в их решении. Помощь включала разделение чисел на составляющие их десятки и единицы, решение примеров, похожих по числам на заданные, но без перехода через разряд (например, к примеру 28 — 9 добавлялся пример 29 —
с последующим возвращением к исходному примеру. При оказании помощи выяснялось, насколько учащиеся владеют составом числа, а также: обратимостью мыслительных действий применительно к счетным операциям.
При выполнении всех математических заданий прослеживалось, осуществляют ли учащиеся самоконтроль своих мыслительных действий, как они соотносят этапы решения задач или примеров между собой.
Опыты проводились с 20 учащимися II класса, с каждым по 5 опытов, продолжительность которых не превышала 30 мин. Таким образом, с учащимися II класса всего было проведено 100 опытов.
Методика дополнительных опытов
Опыты проводились с 8 учащимися III класса — с частью тех детей, которые были испытуемыми, обучаясь во II классе.
Учащиеся повторно выполняли все задания математического содержания, кроме примеров и задач
4 и 5. Вместо этого они решали по пять более сложных примеров и по две более сложные задачи.
Арифметические примеры были следующими: 1) 72—44 + 5; 2) (21 — 17) -8; 3) 8—1+5-6; 4) 28 : (45—38); 5) 32 :8 —4.
Для решения этих примеров необходимо было знать порядок арифметических действий.
В качестве дополнительных использовались задачи, типичные для II класса школы глухих. После решения задач задавались вопросы.
Задача 1. У Тани было 5 яблок. Это на 3 яблока больше, чем у Вити. Сколько яблок было у Вити?
После решения задачи 1 задавались три дополнительных вопроса: 1. У кого было больше яблок — у Тани или у Вити? 2. У кого было меньше яблок — у Тани или у Вити? 3. На сколько меньше яблок было у Вити?
Задача 2. Дыня весит 6 кг, а арбуз на 3 кг тяжелее. Сколько весит арбуз?
После решения задачи 2 тоже задавались три дополнительных вопроса: 1. Что тяжелее — арбуз или
дыня? 2. Что легче — арбуз или дыня? 3. На сколько дыня легче, чем арбуз?
Характер решения названных задач свидетельствовал о степени владения понятиями «это больше, чем то, на» (косвенная формулировка условия) и «тяжелее—легче», а также давал дополнительный материал об оперировании детьми понятиями «больше (меньше) на», «на сколько больше (меньше)».
С каждым учащимся III класса проводилось по 3 опыта, всего было проведено 24 опыта. Каждый опыт занимал не более 30 мин.